Beoordeling van het geschil
4.1 Het beroep is gericht tegen het uitblijven van een besluit op de door eiser per e-mailbericht van 14 december 2010 gedane aanvraag voor ondersteuning vanuit de Wmo. Het geschil spitst zich toe op de vraag of dit e-mailbericht kan worden aangemerkt als een aanvraag in de zin van artikel 1:3, derde lid, van de Awb en meer in het bijzonder op de vraag of verweerder kenbaar heeft gemaakt dat eiser in dit geval voor het indienen van een aanvraag gebruik kon maken van de elektronische weg.
4.2 Uit de memorie van toelichting bij de Wet elektronisch bestuurlijk verkeer, waarbij afdeling 2.3 van de Awb is ingevoerd, blijkt dat een bestuursorgaan voor zover het dat wenselijk acht de elektronische weg kan openen voor een of meer categorieën van berichten, opdat het zijn organisatie en werkprocessen vooraf afdoende gereed kan maken voor het afhandelen van elektronisch ingediende berichten van de desbetreffende categorie. Daarbij is differentiatie mogelijk. De kenbaarmaking kan zowel plaatsvinden in een algemene regeling als in een bericht aan één of meer geadresseerden. Hieruit volgt dat een bericht slechts langs elektronische weg bij een bestuursorgaan kan worden ingediend indien voldoende duidelijk is dat deze weg voor de desbetreffende berichtencategorie is opengesteld (Kamerstukken II 2001/02, 28 483, nr. 3, blz. 12 en 13).
4.3 Uit de stukken blijkt dat eiser in eerste instantie heeft geprobeerd een voorziening voor de door hem gewenste begeleiding te krijgen op grond van de AWBZ. Toen het erop leek dat dit niet ging lukken, heeft eiser via de elektronische weg aan een medewerkster van CIZ Maatschappelijke Ondersteuning (Van der Veen) de vraag gesteld of het mogelijk was een voorziening voor deze ondersteuning te krijgen op grond van de Wmo. In eerste instantie heeft Van der Veen eisers gemachtigde per e-mailbericht van 1 december 2010 meegedeeld dat het CIZ Maatschappelijke Ondersteuning vooralsnog geen mogelijkheden zag voor compensatie vanuit de Wmo. Vervolgens heeft eisers gemachtigde Van der Veen per e-mailbericht van 14 december 2010 uitdrukkelijk verzocht eisers aanvraag voor compensatie van begeleiding op grond van de Wmo in behandeling te nemen en te honoreren, liefst met terugwerkende kracht tot oktober 2009. Uit het e-mailbericht blijkt dat de reden voor dit verzoek is dat het CIZ zich ter zitting van 13 december 2010 in het kader van het beroep bij de rechtbank tegen het besluit van 12 oktober 2009 op het standpunt heeft gesteld dat de door eiser gewenste begeleiding niet valt onder de AWBZ, maar onder de Wmo. Per e-mailbericht van 21 december 2010 heeft Mors eisers gemachtigde meegedeeld dat Van der Veen hem het e-mailbericht van 14 december 2010 ter hand heeft gesteld, dat het bericht voor nu ter kennisgeving wordt aangenomen en dat de uitspraak van de rechter (de rechtbank begrijpt: in het kader van de AWBZ) wordt afgewacht, alvorens een inhoudelijke reactie zal worden gegeven. Per e-mailbericht van 23 december 2010 heeft eisers gemachtigde Mors meegedeeld dat zij, gelet op het feit dat eiser al eerder aanvragen heeft ingediend, de aanvraagtermijn graag gehandhaafd zou zien. Per e-mailbericht van 23 december 2010 heeft Mors hierop gereageerd met de mededeling dat de aanvraag hangende de uitspraak van de rechter zal worden aangehouden. Per e-mailbericht van eveneens 23 december 2010 heeft Mors eisers gemachtigde meegedeeld dat het te prematuur is om uitspraken te doen over een termijn van besluitvorming en dat naar aanleiding van de uitspraak van de rechter eventueel eerst bezien zal moeten worden of de gevraagde voorziening onder de verantwoordelijkheid van een gemeente valt, waarna de gemeente Leeuwarden een beleidsstandpunt zal moeten innemen met betrekking tot een eventuele uitvoering. Vervolgens heeft eisers gemachtigde Mors per e-mailbericht van 10 februari 2011 verzocht de aanvraag nu in behandeling te nemen, omdat de rechtbank de uitspraaktermijn heeft verlengd. Per e-mailbericht van 11 februari 2011 heeft Mors hierop gereageerd met de mededeling dat men in intern beraad zal gaan of de aanvraag in behandeling wordt genomen, aangezien het de vraag is of de gevraagde voorziening onder de verantwoordelijkheid valt van de gemeente.
4.4 Ten aanzien van de vraag of verweerder aan eiser kenbaar heeft gemaakt dat voor hem de elektronische weg openstond voor het indienen van een aanvraag op grond van de Wmo overweegt de rechtbank het volgende. Eiser had reeds voor het e-mailbericht van 14 december 2010 via de elektronische weg contact met CIZ Maatschappelijke Ondersteuningen in het kader van zijn aanvraag op grond van de AWBZ. In het e-mailbericht van 14 december 2010 spreekt eisers gemachtigde uitdrukkelijk over een aanvraag en verzoekt zij CIZ Maatschappelijke Ondersteuning uitdrukkelijk om deze aanvraag in behandeling te nemen en te honoreren. De teammanager van CIZ Maatschappelijke Ondersteuning (en vanaf 1 januari 2011 de MO-zaak) heeft per e-mailbericht van 21 december 2010 op het e-mailbericht van 14 december 2010 gereageerd. Vervolgens heeft hij per e-mailbericht van 23 december 2010 meegedeeld dat de aanvraag wordt aangehouden. Ook in latere e-mailberichten spreekt hij uitdrukkelijk over een aanvraag. CIZ Maatschappelijke Ondersteuning / de MO-zaak heeft gedurende een aantal maanden veelvuldig via de elektronische weg contact met eiser gehad over zijn verzoek tot toekenning van een voorziening op grond van de Wmo. In dat contact heeft CIZ Maatschappelijke Ondersteuning / de MO-zaak eiser er nooit op gewezen dat het niet mogelijk was om per e-mailbericht een aanvraag in te dienen. Gelet op al deze omstandigheden is de rechtbank van oordeel dat eiser er in dit specifieke geval vanuit mocht gaan dat voor hem voor het indienen van een aanvraag op grond van de Wmo de elektronische weg was opgesteld.
4.5 Gelet op het voorgaande is de rechtbank van oordeel dat eiser op 14 december 2010 bij verweerder een aanvraag in de zin van artikel 1:3, derde lid, van de Awb heeft ingediend. Uit de e-mailberichten van Mors van 23 december 2010 en eisers gemachtigde van 10 februari 2011 leidt de rechtbank af dat de behandeling van deze aanvraag in de periode van 14 december 2010 tot 10 februari 2011 met instemming van eiser is aangehouden in afwachting van de uitspraak van de rechtbank in het kader van de AWBZ, doch dat eiser zijn instemming met ingang van laatstgenoemde datum heeft ingetrokken. Hieruit volgt dat verweerder uiterlijk op 7 april 2011 op de aanvraag had moeten beslissen. Verder stelt de rechtbank vast dat eiser verweerder bij brief van 14 april 2011 heeft meegedeeld dat hij in gebreke is. Aangezien verweerder heeft nagelaten om binnen twee weken daarna alsnog een besluit te nemen op eisers aanvraag, is het beroep gegrond.
4.6 Gelet op het bepaalde in artikel 8:55d, eerste lid, van de Awb zal de rechtbank verweerder opdragen binnen een termijn van twee weken na verzending van deze uitspraak alsnog een besluit te nemen op eisers aanvraag van 14 december 2010.
4.7 De rechtbank bepaalt voorts met toepassing van artikel 8:55d, tweede lid, van de Awb dat verweerder een dwangsom van € 100,00 verbeurt voor elke dag dat de hiervoor genoemde termijn wordt overschreden, met een maximum van € 15.000,00.
4.8 Met toepassing van artikel 8:75, eerste lid, van de Awb veroordeelt de rechtbank verweerder in de proceskosten. Overeenkomstig het Besluit proceskosten bestuursrecht worden de proceskosten van eiser vastgesteld op € 218,50 ter zake van door een derde beroepsmatig verleende rechtsbijstand (beroepschrift 1 punt; verschijnen zitting 1 punt; waarde per punt € 437,00; gewicht van de zaak: zeer licht (factor 0,25)).